统计学概率范文

导语：想要提升您的写作水平，创作出令人难忘的文章？我们精心为您整理的5篇统计学概率范例，将为您的写作提供有力的支持和灵感！

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关键词：

信息领域;概率统计学;教学研究

2012年7月国家自然科学基金委数学天元基金委员会举办的“应用数学”研究生暑期学校在国防科学技术大学举行，该暑期学校以“信息处理”为主题，邀请应用数学领域知名专家进行专题讲学。我有幸参加了该暑期学校的学习，获益良多。我所在的大学被喻为“信息领域的黄埔军校”，近年越来越重视概率统计学课程的教育。如何结合学校学科特点更好的把概率统计思想传递给学生，通过参加完该暑期学校的学习，有了一些体会。

1两点启发

1.1重要概念的统一化抽象由于我在学校主要讲授概率统计系列课程，所以对四川大学的马洪教授主讲的《信息处理中的统计学》很感兴趣，马老师旺盛的经历和风趣幽默的授课方式深受我们的喜爱，他所讲的内容中有两点让我深受启发，第一点：重要概念的统一化抽象。正如马老师一直强调“数学最重要的是提炼”。例如：如下的随机变量、随机向量、随机序列、随机过程重要概念可以统一化讲解。是研究“概率可测空间”到“不可数无穷维实可测空间”的“可测映射”。

1.2结合授课学校的实际背景如果说上面的内容对工科学生们有些晦涩，那么结合他们熟悉的专业课来学习概率统计，可能就让他们倍感亲切了，深受启发的第二点：结合信息领域的实际背景，比如滤波器、放大器等内容与概率统计课程的对接。信息领域的工科学生会学习电子信息方面的两门重要基础课程：《数字信号处理》与《信息与系统》，《数字信号处理》是“与概率统计对接的窗口”，打开“接口通道铁门”的“钥匙”是“泛函分析”[1][2]。例如：从滤波角度来看，很多统计学的重要理论对应于滤波。电子专业上的“滤波”就是概率统计中的“估计理论”。具体的来讲：统计中的最大后验概率准则对应于“MAP滤波”，最小均方误差准则对应于“MMSE滤波”，最大信噪比准则对应于“MaxSNR滤波”，极大似然准则对应于“ML滤波”，最小二乘准则对应于“LS滤波”。例如：在《随机过程》课程，授课到“谱分析”时，需要用到“Fourier变换”，数学中的Fourier变换与信号处理的一些内容有如下相应的对照。Fourier变换的性质是信号频谱分析的理论基础。①线性性：设f,g的Fourier变换存在，c1，c2是常数，则F[c1f+c2g]=c1F[f]+c2F[g]重要应用：线性叠加信号的频谱等于信号频谱的线性叠加②位移性质：时移性重要应用：信号时延不改变其频谱特性（多径信号频谱特性相同）。频移性重要应用：信号调制！（上变频：无线通信发射机原理！）③微分性质：重要应用：信号处理（高频放大器）；概率论（求高阶矩；化积分为求导）。④积分性质：重要应用：信号处理（低频放大器）；数学（简化运算：“时域上求积分”转换成“频域上作除法”）。⑤卷积性质：体现滤波器原理。重要应用：“时域上求卷积”转换成“频域上作乘积”！

2培养学生学以致用

通过本次学习，还接触了一些新领域的知识，例如“分数阶微积分”的研究，求函数的1/2阶导数？这方面的研究带来了“微分方程的变革”，现在大学所学的微积分只是其特例。1695年，微积分创始人莱布尼兹在与洛比达通信中提出了“分数阶微积分”，但是这个工作没有继续进行，他们不缺智慧，而缺运气，原因是他们生活的时代科技发展没有相应的直观需求。而最近二三十年，在物理、化学、生物学领域产生了这种需求，这方面的研究现在受到了很多研究者的关注。可见科学的生长力总是与实际应用相辅相成的。基于此，我在日常授课中非常注重对学生“学以致用”能力的培养，以下以《多元统计分析》课程为例简介一下授课内容。

在《多元统计分析》课程学习的过程中，注重“从数据到结论”的实证分析能力培养。培养学生应用概率统计的意识和兴趣，逐步提高学生的应用能力是概率统计课程教学改革的重要方向。我们根据选课人数分成兴趣小组,以小组为单位留大作业,鼓励大家查找资料、编程、实证分析。处理实际数据，分析解决实际问题的能力。教会学生至少会使用一种统计软件，常见统计软件有：SPSS、SAS、S-Plus、R、Eviews等。为了培养学生的实证分析能力，作业采用大作业方式留给学生，例如：在学习“多元统计图形的表示”时，让学生对某社会热点研究问题绘制散点图、脸谱图、雷达图、轮廓图、星族图。在学习“多元分布数字特征及估计”时，由于此阶段教学内容抽象，俗话说：“读万卷书不如行万里路”。故安排采风作业：参观国家统计局统计资料馆，介绍了国家统计局资料馆行车路线、开放时间、馆藏等内容。从官方层面上了解我国统计工作建设，统计资料的收集情况。

3结术语

我国高等教育迅速发展，已由“精英教育”转入了“大众化教育”阶段，随之而来的是对高等教育质量的忧思和批判。提高教学质量，是广大数学教师迫切关心的问题。“真正的教学效果，并不是看教师教了多少，而是要看学生学到了多少。”

参考文献：

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1.1关于概率统计学

概率与统计是一门从数量方面研究随机现象规律性的数学学科,概率与统计的概念被广泛运用到各个领域及部门。概率统计学的运用及其广泛,随机事件的研究结果对于当代各类数据分析整合都有着重要的作用。与此同时,概率与统计的学科特点也决定了其研究的难度较大,概率与统计的结论得出往往建立在大量的实验与实践基础上。作为一门应用型数学学科,其广泛性必将为未来科学技术和人们生活水平带来不可估量的影响,而其自身研究条件的局限性,尤其是实验条件的不足,将直接影响到未来自然科学发展,也势必会减慢人类在科技创新之路的发展进程。

1.2关于信息科学

信息科学主要包含信息论、控制论、计算机理论、人工智能理论和系统论,其中,信息论、控制论和系统论在信息科学中占有主要地位,而计算机理论是数学研究中的应用重点。信息科学的兴起直接带领人类走向了信息化时代,对于人类文明的有着不可估量的作用。信息科学发展到今天,其作用已经不仅仅针对于学科本身以及信息行业,在信息化趋于高度发达的今天,将会为人们的生活带来质的飞跃,对于不同的行业领域,都将有信息科学的推动,信息化带来的是未来自动化和智能化的飞速前进。而信息科学自身也在不断地发展完善,数学学科作为自然科学的基础理论学科,对于信息科学的发展也不例外,只有从基础上进行完善和补充,才能帮助信息科学走上更加成熟更加美好的未来之路。

2信息科学与概率统计学的内在联系

在信息科学已经逐步成熟的今天,其所包含的各项技术已经为人们的生活带来了更加智能化、便捷化的体验。当然,信息科学是建立在数学基础上的学科,其技术须有数学理论、数学方法的支持与论证。[1]概率统计对于现代数学更有着重要的意义,其所涉及的随机规律的研究将更加符合生产生活的需求,而随机规律的运用在信息科学中体现的更淋漓尽致,信息科学的大多数结果都需要建立在庞大计算与实践的基础上,这就需要对结果的普遍性进行概率与统计的研究分析,同样,对于概率统计学科的发展,信息科学能够很大程度的减少研究过程的繁冗,加速概率统计学的发展和进步。由此可见,这两个科学领域存在紧密的内在联系,将概率统计与信息科学整合研究对于其自身发展以及整个应用型科学的发展都有着重要的意义。

3信息科学与概率统计学的整合策略

3.1重视对二者探究观念的结合

信息科学的发展带来了许多先进的生产技术,将其应用于概率学的研究探讨可以带来事半功倍的效果,而如何将二者更加紧密的结合在一起,创造出更大的社会价值,首先就要要求在思想观念上将概率统计学与信息科学联系起来。例如,在对于概率统计的研究或者论证中,根据其研究特点将概率统计中的数学模型抽象出来,针对其特点进行信息化的整合,力求将繁冗的步骤简化,减少人力物力的过度消耗。同样,对于信息科学,要在对其先进性进行发展改进时考虑到概率统计的运用,利用概率与统计的结果和普遍性规律对信息科学技术进行改良与进化,使得信息科学在实际中的应用更具有合理性。科学具有广泛的共同性,并且都不是单一存在的,只有建立起学科间穿插研究、互相渗透的观念,才能在科学技术的发展进程中更大程度的的实现多样化,挖掘出自然科学更大的潜力。[2]

3.2重视将整合后的理论用于实践

理论是实践的基础,而实践才使得理论具有意义,这句话对于各个领域,尤其是自然科学的探究上有着重要的意义。对于概率统计与信息科学的渗透发展,仅仅局限于“敢想”是不够的,在充分的思考后,要将想法勇于实践才能真正的实现二者的结合发展。而如何将理论用于实践,不知是需要专业知识的支持,还需要对环境因素、人为操作因素、结果预估等等进行全方位的统计,在推行到实践的过程中,始终保持科学严谨的态度,把控每一个环节,抓好每一个细节,才能更好的将理论运用于实践中去,才能赋予学科间渗透结合更完整的意义。

3.3重视对实践结果的推广

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一、概率论引入统计学的意义

（一）方法的突破

统计学研究对象的拓展。引入概率论后统计学研究对象的拓展表现在外延与内涵两方面。外延上，导源赌博问题研究的概率论以随机性现象为主要研究对象，它的应用将统计学思想方法带到自然科学领域，甚至用于研究人类心理活动、思维现象，拓展了原来始于社会经济现象研究的统计学的研究对象。另外，联姻前统计学对现象的描述、分析只能止于其确定性方面，有概率论新工具后，其不确定性方面也能描述分析，拓展了作为统计学对象的社会经济现象的数量信息内涵。研究对象的拓展，使得在此基础上统计学成了一门具有通用性的定量分析工具。

统计学研究方法的进阶。概率论联姻“统计”的突出意义表现在方法上—由描述走向推断。“描述统计”（包括数据的收集、整理、显示和分析）主要是通过图表形式对所收集的数据进行加工处理和显示，进而综合、概括和分析得出反映客观现象规律的数量特征；“推断统计”则是在对样本数据进行描述的基础上对统计总体的未知数量特征作出以概率形式表达的推断。联姻之前的古典统计学主要就是初级的“描述统计”（简单的计量、分组、图表、推算等），现代统计学则以“推断统计”为其核心内容。这里“描述”与“推断”的划分一方面反映统计方法发展的两个阶段，另外也反映应用统计方法探索客观事物数量规律的不同过程。“描述”是基础，“推断”是主要内容。

推断统计的现实性意义。统计学从描述发展到推断，反映统计学发展的巨大成就，也是统计学成熟的重要标志。一方面，它是重要的认识工具。正是由于有了“推断”，科学借助统计这一定量分析工具取得了巨大成就。象著名的基因论就借助推断统计方法而得。

（二）思想的腾飞

矩：统计学早期便有“平均”即一般代表值的思想，认识事物数量方面的一般性。引入概率论后，“平均”引申到“期望”，描述随机变量的集中趋势。与“平均”相对应，有对数据偏离“一般”程度的描述即“变异”，认识事物数量方面的差异。引入概率论后其内涵扩充到对随机变量离散程度的描述。“矩”源于力学研究，均数、方差同重心和转动力矩之间的类似促使统计上用“矩”来描述数据特征。其概念涵盖前述的几个参数，并扩充到多阶、多维随机变量特征的描述。“矩”体现了统计“求同察异”的思想，即在了解差异的同时认识事物的同质性。

估计：估计是据样本数据对总体参数所作出的“猜想”’其实质是一种类比，将对已知事物的认识拓广到更大范围。实际上有一个假定即样本、总体的同质性（同分布）。由于样本的随机性使得估计带有不确定性，便给出“区间”来对其描述。

检验：检验即先对总体特征作出一种假设，然后根据样本信息对这一假设的支持程度作出描述（假设正确性的判断），主要运用反证法、小概率原则等思想。检验与估计构成统计推断内容的两面，鉴于思维上推与证的不同而分别提出。

拟合：拟合就是对现象之间的联系、发展规律、变化趋势给予定量描述，是对事物间关系表现的一种抽象。也就是以一定的模型来反映现象及现象间的联系的发展变化，表现出联系的显性方面而抽象掉非显性方面。

相关：相关是客观事物普遍联系的哲学思想在统计上的具体化。统计所研究的对象之间往往表现出相随共变或相随共现的情况，相关便是对现象间这种联系的数量表现的描述、分析。通过对比关联现象变化的方向与程度，来研究它们之间是否有联系、联系的紧密程度和形式。

惯性：哲学上，客观现象都是有规律的辩证发展运动过程。任何运动都具有惯性，这种惯性表现为系统的动态性即记忆性。它反映现象未来行为与过去的行为有关这样一种动态思想，是“动态相关”，也是预测的思想基础，反映现象本身及现象之间关系发展、变化的规律性。

二、概率论引入统计学的启发

概率论引入统计学，使统计学思想方法有了质的飞跃，并成为统计学坚实的理论基础。这也给我们启发：统计学必须与时俱进，顺应时代而发展，不断完善方法体系，与其它定量分析工具、计算技术及其应用领域科学结合融会。

研究对象泛化：统计学是定量分析工具，首先便表现在对所研究的对象（社会经济现象、自然现象、精神思维等）的定量描述上（对象信息数据化），然后再做定量分析。最初统计学只能局限于现象数量信息做确定性的数量描述、分析，引入概率论之后，对研究对象便可以做随机性描述、分析。而实际工作中有时还必须对定性的、模糊的、混沌的甚至突变的等研究对象做定量的描述与分析，概率论便会有所局限，必须引入新的工具。比如引入模糊数学，对模糊性现象做定量描述分析；引入灰色理论，形成灰色统计思想等等。

电子技术发展：科技特别是计算机技术的发展使数据处理的手段得到提升，并对统计提出了新挑战。电脑、网络的出现一方面使统计学的研究对象（总体）成了一个结构复杂的系统，另一方面对数据的分析处理变成了算法。同时在我们面对的数量信息超大量化后，统计的“收集、分析数据”的任务、统计推断意义也就必然发生变化，等等。这一切都要求统计必须与计算机及其它科学联姻，如人工智能、神经网络理论等。

应用领域扩张：现代统计学是一多层次多门类的学科，几乎所有的科研都要借助这一定量分析工具。应用领域的不同，对这一工具的要求必然不尽相同。比如生物统计、保险统计与统计地理学在基础性方法一致的基础上各有与其相联系的实质性科学的特点。现代统计方法（包括概率论的成长、壮大）很大程度上来自一些实质性科研活动，这也就要求我们坚持以概率论等数理工具为基础的前提下紧密联系应用领域的实质性科学。

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一.引言

高中新课程改革之前，概率试题注重对四个基本公式的考查，即对等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式；独立事件的概率乘法公式；事件在 次独立重复试验中恰发生 次的概率的考查。高中新课程改革之后，概率的考查更多与统计结合，结合茎叶图和频率直方图，理科重点考察随机变量、分布列、数学期望，文科侧重抽样方法和总体分布估计，文理科均以古典概型和几何概型为考点。

二.文理科概率混淆点

高考复习中，在概率统计的复习中学生遇到了一些容易出现了混淆的问题。

理科学生混淆的问题主要是独立重复实验和排列组合问题；文科主要是古典概型的列举问题和线性规划的问题。

1.文科常规题

例：一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为 ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为 .求关于 的一元二次方程 有实根的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n.若以 作为点P的坐标，求点P落在区域 内的概率.

解答：（1）基本事件（a，b）有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）

共12种。

有实根，=4a2-4b2≥0，即a2≥b2。

记“ 有实根”为事件A，则A包含的事件有：

（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）共6种。

P（A）= 。

（2）基本事件（m，n）有：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）

（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）

（4，3）（4，4）共16种。

记 “点P落在区域 内”为事件B，则B包含的事件有：

（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）共4种。P（B）= 。

此类问题的第二问显然是古典概型的列举问题。学生也容易看出。但在下列两类题型一放在一起时学生就难区分是古典概型还是线性规划问题了。

2.文科混淆题

某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：

甲：102，101，99，98，103，98，99

乙：110，115，90，85，75，115，110

（1）画出这两组数据的茎叶图；

（2）求出这两组数据的平均值和方差（用分数表示）；并说明哪个车间的产品较稳定.

（3）从甲中任取一个数据x ，从乙中任取一个数据y ，求满足条件 的概率.

解答：（1）茎叶图略

评析：这两个题型中的第三问，极易混淆，但仔细审题之后，会发现题型一中的关键词“若干次训练成绩中随机抽取6次”，最后是研究甲乙的成绩状况，是由样本研究总体的问题，所以是线性规划问题；而题型二则是直接从甲乙中各取出一个，研究的就是样本中的数据问题，所以是古典概型问题，这两个问题如不仔细审题极其容易混淆，这也是教师的一个教学难点。

3.理科常规题

例：甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。

（1）用 表示取到的4个球中红球的个数，求 的分布列及 的数学期望；

（2）求取到的4个球中至少有2个红球的概率.

解答：（1） ，

某市 年 月 日― 月 日（ 天）对空气质量指数 进行监测，获得数据后得到如下条形图：

（1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；

（2）在上述30个监测数据中任取2个，设 为空气质量类别为优的天数，求 的分布列.

解答：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为 天，

所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为P= .

（2）随机变量 的可能取值为 ，则

， ，

所以 的分布列为：

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二、概率统计的工具

当今的社会是一个信息化的时代，统计学也不再只是刘乃嘉，吉林工商学院助教，硕士，研究方向：统计学。计算一些基本的加减了，以前用一个计算器就能轻轻松松的解决，而今的统计学面对的大数字时代，需要处理大量的数据。在教学的过程中可以适当添加一些软件，既吸引学生的眼球又能提高效率，节省人力、物力，比如说SPSS、SAS、MATLAB、EXCEL表格等。SPSS的优点很多，它有学生们乐于接受的主界面，最重要的是这个软件特别的容易学，对从来接触过这个软件的同学来说，可也以在很短的时间内轻松的掌握它，非常适合非计算机专业的学生。教学的目标在于运用，SPSS自身带有许多函数计算公式和其他的计算公式，你只需找到你要计算的公式并且在键盘上输入你要计算的内容，就可以计算出概率密度、分布、随机问题等，十分便捷。EXCEL软件是大家最熟知的软件，因为在刚入学的时候就有计算机基础，里面就要求掌握这个软件的运用，是OFFICE的一个分支。在教学中选用这个工具可以降低教学难度，还可以提高学生的积极性，因为他们学的知识终于可以有用武之地了。这个软件最大的优点就是制作统计图像的功能很完善，并且还有非常完美的统计处理能力，它具备了其他软件基本上的功能，可以很好地与其他统计软件相匹配，共同运用。计算机领域还有很多的可以适用于统计学的软件，而且一般这些软件的运用对大多数的老师和学生来说都是不费吹灰之力的，在概率统计的教学中，老师们可以按照教学的需要适当的引入这些优秀而强大的软件，弥补以前教学方式中存在的缺点，增加老师和学生的互动，提高学生的学习兴趣，如果有条件可以让学生到计算机中心去亲自体验一下这些软件，学生一般比较愿意学习动手性比较强的知识，这也是教学中值得思考的问题。