小学分数的意义篇1

《数学课程标准》中指出:数学教育应该“在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”,“帮助他们在自主探索和合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”,“数学应源于生活,回归生活”。教学中,教师让学生操作测量:让学生用米尺测量黑板的长度,量了几次后还剩下一段不够一个计量单位(例如,不够1米).这时,要把这个计量单位分成若干等份,例如分成10等份,用这样的1份作单位来量.这一份是一个计量单位的十分之一(就是1米的十分之一,是1分米).如果,量了几次后,仍有剩下一段不够一个(分米的)计量单位,还要把这个(分米的)计量单位再分成10等份,用这样的1份作单位来量.这一份又是一个(分米的)计量单位的十分之一.这些被等分后得到的计量单位最好都要用分数来表示.教师指出:人们在实际测量中往往不能得到整数的结果,就要用新的数──分数来表示测量的结果。然后给学生介绍下面这个分数:

二、教学分数的意义

《分数的意义》是在学生已对分数有了初步认识的基础上进行教学的。教学的重点是理解分数的意义,学习的难点是理解“把几个物体看作‘一个整体’来平均分”。为使学生全面理解单位“1”,教师可作这样的分析:

教师让学生用自己的方法表示出和,可以提示学生用“折一折、画一画、涂一涂……”等办法,然后让学生展示自己的作品,教师并作讲解:

1、展示表示的作品

①老师提问:“你是怎么做的?”学生回答:“我是折出来的,对折了两次,其中涂色的部分就是这个圆的。”老师指着其中一块空白的部分,问:“这一部分用什么分数表示?”学生说:“也是用。”

②老师让学生自己说出是怎样创造的。

③老师用怀疑的语气问:“你是怎么想的?”那名学生说:“把四个圆放在一起,那个涂色的圆形是。”老师紧追不舍地问:“你是把谁平均分了?”学生说:“把这4个圆平均分。”老师满意地点点头,说:“对,我们把4个圆形组成了一个整体,把这个整体平均分。”同时,把4个圆形绑在一起了,变成了。老师指着任意一个圆形,要求学生说出用哪个分数表示。学生都能答出用表示。

2、展示表示的作品

老师让学生阐述创造的理由。(详细过程略)

3、为使学生加强理解,让学生再在纸上画出图2并做讲解

教师问:正方形的纸是怎样分的?分成几份?空白部分和阴影部分各表示这张纸的几分之几?(引导学生回答:把正方形的纸平均分成四份;空白部分是其中的一份,是它的四分之一,即;阴影部分是其中的三份,是它的四分之三,即.)教师在图上分别标上和.

在以上分析的基础上,指出一个物体、或许多物体组成的整体,通常把它叫做单位“1”,进而得出分数的意义是:“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数.”其中“平均分”是十分重要的.

为方便学生更一步理解,可以多举一些例子,例如:教师让班上第1小组的男生站起来,问:站起来的男生是这个小组人数的几分之几?把什么看作单位“1”?站起来的男生是全班同学的几分之几?又把什么看作单位“1”?学生回答后,教师说明,由于单位“1”不同,第1小组男生所表示的分数也要发生变化.

三、由具体到抽象理解分数的意义

认识单位“1”的基础上,让学生进一步理解分数的意义,比如:

师:认识了单位“1”,现在谁会用简洁的语言说说表示什么?

(把单位“1”平均分成4份,表示这样3份的数。)

依次出示、,请学生说意义。

生:把单位“1”平均分成若干份,表示这样3份的数。

生:把单位“1”平均分成4份,表示这样一份或几份的数。

小学分数的意义篇2

笔者听过多节五年级“分数的意义”的课，有常态课，也有观摩课，尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别，但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究，以其中的一节“分数的意义”为例，该教师的课堂情况可以大致归纳如下：学生动手操作学具用语言（或具体分数）表示结果。即在课堂上，每个学生都有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有八个棋子，把它们平均分成4份，其中的1份占这个整体的四之一，用表示。”

类似这样的教学过程可以图示如下：

图1 “分数的意义”现实教学过程图

在课前和课后的及时访谈中我们了解到，教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材（人教版）提供了四条信息（图2）：（1）言语“你能举例说明的含义吗？”（2）圆纸片、方纸片和线段图；（3）香蕉和面包，并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言；（4）分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息（1）（3）（4）决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述；由信息（2）和（3）决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说，教师从上述信息中作出了两个推理和决策，一是视纸片和面包为起到等同作用的实物；二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是，便产生了图1所示的教学过程。

基于这种现实教学中并不鲜见的现象，通过对教材资源进行深度挖掘，并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析，我们不禁要追问：纸片与面包完全等同吗？分数意义学习只有“分实物言语表述”的单一走向吗？

二、分数意义教学中的纸片：由实物走向模式

对问题“纸片与面包是否完全等同”，在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。

（一）表达“部分与整体关系”意义的模式

我们知道，分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。

关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解，教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择：

图3 “部分与整体关系”之范围模式图例

但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解，矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体，而三角形模式两方面都比较困难。

集合模式则用一个集合作为整体，如图4所示：

图4 “部分与整体关系”之集合模式图例

集合模式对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物都会产生一些困难，何况这种抽象的模式。不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教师不准备这样做，自己也应该很清楚这一点，因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。

线段图属于长度模式，小学生比较熟悉，也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况，这个模式适合于较大儿童（四年级及其以上），图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。

图5 “部分与整体关系”之面积模式图例

由上可知，分数表达了“部分与整体的关系”，而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化，使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地，如果能够意识、找到并恰当运用这些模式，我们的教学也许会更有效。

(二)教材中具有“模式”功能的信息源

那么，教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?

我们回到图2，结合上述的分析便不难理解，教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片，特别是纸片，除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式，圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话，教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外，又多了一个元素，即“模式”。

相对于以往对教材中纸片的认识，通过今天的讨论，纸片便“返璞归真”，兼具实物与模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读，纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。

三、构建“模式主导，双向多维”的教学结构

(一)模式的核心地位

在教材所呈现的四个元素，即实物、模式、言语和符号中，模式是联结其余三个元素的桥梁。

首先，纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化，从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的过程，是数学化的过程，即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”，真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究，而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学，由实物操作走向模式走出了数学味。

其次，模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系，即模式?圮符号、模式?圮言语、符号?圮言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下：

在上述图形中，模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来，形成“分数意义”抽象的研究对象，并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如，平均分香蕉为4份(实物操作)，将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片，该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系，而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中，将更详细地予以解释。

据此，通过分析教材、提取信息解读信息背后的含义建构信息之间的关系等步骤，纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来，它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现，也能使该教学过程显得立体多元。

(二)“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义

如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化，那么，“模式主导，双向多维”的教学结构便水到渠成。如图6：

图6“分数意义”之“模式主导，双向多维”教学结构示意图

把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动，则至少有六种路径：

(1)由模式写符号；(2)由符号选模式；(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象)；(4)由表述写符号(借助模式表象)；(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号)；(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。

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其中，(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。

以上解析了分数意义的学习过程，对于教师而言，“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义如下。

要义一：(1)创设情境，引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程；(2)给模式写符号，同时给符号选模式；(3)借助模式表象，给符号进行言语表述，同时给表述写符号；(4)给模式，儿童言语表达分实物的过程，同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。

要义二：(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程，然后写出分数符号；同时，先给出符号由学生选模式，然后再表述分实物的过程；(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式，再依此描述分实物的过程；同时，言语表述模式后，描述分实物的过程，再写出符号。

前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化，后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。

(三)两种教学结构的比较

图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构，即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导，双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点，学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物言语表述符号或分实物言语表述分物过程)，跨越了“实物到模式”的数学化的过程，并构建了“实物到言语”的单向学习活动，使整个学习活动显得单一和断裂，不利于学生全面、深刻地理解分数的意义，不利于学生体悟和积累数学化的数学经验，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。

后者呈现多维性和双向性的特点，模式元素是整个结构的核心，各个元素之间的关系是双向互动的关系，从多个维度(实物模式?圮符号、实物模式?圮言语或实物模式、模式?圮符号?圮言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解，有利于学生积累丰富的数学活动经验，更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展，为学生未来的数学学习生活注入活力。

调研中有教师说，在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式)，绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导，双向多维”的教学模式所致。

四、“模式主导，双向多维”教学结构的教学意义

我们归结分数意义的教学结构，并非仅仅追求外在教学形式的简单改变，意在深入挖掘其内蕴的教学意义，使教学形式的改变由内至外而发生，而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。

“模式主导，双向多维”的分数意义的教学，其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式，而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程，是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程，各路径相对独立，又整体关联，相互依存。独立的路径双向互动，并非单一走向；关联的路径融会贯通，以一定的模式相互整合，构成数学知识意义生成的有机载体。

小学分数的意义篇3

姓名:________

班级:________

成绩:________

小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!

一、约分

(共11题；共13分)

1.

（1分）先看图写出分数，再分一分，把图中阴影部分化成分母相同的分数。

_______＝_______            _______＝_______

2.

（1分）分数单位是

的所有最简真分数的和是_______。

3.

（1分）约分后，分数的值变小。

4.

（1分）最简分数的分子和分母只有公因数1。（

）

5.

（1分）在

、

、

、

、

这五个分数中，最简分数有（

）个．

A

.

1

B

.

2

C

.

3

D

.

4

6.

（1分）用分数表示下面各图的阴影部分。

7.

（1分）把一个分数约分，先用5约了一次，再用3约了两次，得

．原来这个分数是多少？

8.

（3分）先化成最简分数，再比较大小。

（1）

（2）

（3）

9.

（1分）分母是10的所有最简真分数的和是_______。

10.

（1分）一个最简真分数，分子和分母的和是9，这样的最简真分数有（

）个。

A

.

4

B

.

3

C

.

5

11.

（1分）把一个分数约分时，先用2约了两次，又用5约了一次，约成的最简分数是

，原来的分数是多少？

二、公倍数和最小公倍数

(共9题；共12分)

12.

（1分）A是B的因数，A、B的最小公倍数是B。

13.

（1分）两个数是互质数，这两个数一定都是质数。（

）

14.

（1分）两个连续自然数的和是13，它们的最小公倍数是_______。

15.

（1分）a和b是两个自然数，a除以b（b≠0）的商正好是8，那么a和b的最小公倍数是_______。

16.

（1分）两个不同的合数的最小公倍数一定不是这两个数的积。（

）

17.

（4分）用你喜欢的方法求下面每组数的最小公倍数。

（1）52和13

（2）11和12

（3）24和20

（4）18和12

18.

（1分）两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少。

19.

（1分）甲每秒跑3m，乙每秒跑4m，丙每秒跑2m，三人沿600m的环形跑道从同一地点同时同向出发，至少经过多长时间三人又同时同地出发？

20.

（1分）小光每3天去一次图书馆，小志每4天去一次图书馆。3月24日他们在图书馆相遇，那么下一次他们几月几日在图书馆相遇？

三、通分

(共4题；共6分)

21.

（1分）通分就是把分母不同的分数改写成分母相同的分数。（

）

22.

（3分）比较每组分数的大小。

和

和

、

和

、

和

23.

（1分）超市有三种质量相等的水果，周末的销售情况如下：苹果售出

，香蕉售出

，梨子售出

。如果超市要进货，应该多进哪种水果？为什么？

24.

（1分）填“＞”“＜”或“=”。

_______

_______

_______

_______

_______

3

_______

四、分数和小数互化

(共5题；共10分)

25.

（3分）用分数表示下面各题的商,是假分数的要化成带分数。

3÷4=_______ 9÷5=

_______  15÷8=

_______ 10÷7=_______

0.78=

_______     1.25=_______     3.375=_______     2.06=_______

26.

（1分）12÷_______=_______％=0.75=

_______．

27.

（1分）把下面各组数从大到小排列。

%

28.

（1分）把下面的分数化成小数（除不尽的保留两位小数）

①

②

③

④

⑤

29.

（4分）把下面的小数化成分数

（1）0.125

（2）2.4

（3）0.37

（4）1.28

参考答案

一、约分

(共11题；共13分)

1-1、

2-1、

3-1、

3-2、

4-1、

5-1、

6-1、

7-1、

8-1、

8-2、

8-3、

9-1、

10-1、

11-1、

二、公倍数和最小公倍数

(共9题；共12分)

12-1、

13-1、

14-1、

15-1、

16-1、

17-1、

17-2、

17-3、

17-4、

18-1、

19-1、

20-1、

三、通分

(共4题；共6分)

21-1、

22-1、

23-1、

24-1、

四、分数和小数互化

(共5题；共10分)

25-1、

26-1、

27-1、

28-1、

29-1、

小学分数的意义篇4

如：在学习小数加法、减法、乘法和除法四则运算的意义时，教材中先分别进行了纵向比较，即小数加法的意义与整数加法的意义相同，就是把两个数合并成一个数的运算；小数减法的意义与整数减法的意义相同，就是……在分别教学完小数四则运算意义之后，及时对它们进行整体回顾和横向比较，小数加法、减法和除法的意义与整数加法、减法和除法的意义完全一样，而惟独乘法的意义分两步理解，一部分是小数乘以整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；而另一部分与之不同，即一个数乘以小数的意义就是求一个数的十分之几、百分之几、千分之几……这样使学生明确了小数和整数四则运算之间的内在联系与不同，并促使学生进一步加深对整数、小数四则运算的理解和记忆。

小学分数的意义篇5

众所周知，数学概念本身有着严密的体系，且总是随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。因此，教师必须处理好概念自身的连续性和学生学习的阶段性之间的矛盾，随着数学学习的深入，关注学生对同系概念含义的更新与重构，使概念趋于完善。然而现实中，教师往往比较注重概念的阶段性学习，而忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。下面以“乘除法意义的发展”为例，通过列举学生在解决小数、分数乘除法问题时的常见错误，分析学生在学习乘除法意义时的思维过程，进而提出改进策略。

一、问卷引发的思考

笔者曾对五六年级学生作了一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力。为了便于比较，问卷以题组形式呈现：

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升桔汁的售价为8元，每升桔汁的售价是多少？

升桔汁的售价为4元，每升桔汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药 千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒 公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目本身也相当基础，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握较好，进入第二学段却暴露出了明显的问题。具体看学生的错误类型，多是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知将哪个数当被除数（如题组2第二题，很多学生用4× 或 ÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程（如负数、无理数等概念引进后的扩展）中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的 是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的 是4，求这个数？”

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：第一组中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；第二组中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；第三组第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段发展乘除法意义的策略研究

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，我们仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种：

（1）等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”、“份数”，从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。

（2）倍数问题。

（3）配对问题。

（4）长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五上“小数乘法”单元，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，我不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中出现这样一组情境：

（1）我的绳子长 米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的 ，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是 ×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个 ”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，我紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算：

（1）把 平均分成2份，每份是多少？

（2） 里面有几个1/5？

（3）10是 的几倍？

（4）一个数的是 是8，这个数是多少？

（5）两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，另一个因数是几？

可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，我追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更关注于问题本身的含义，将视角从“关注数据”转换到“关注意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。

综上所述，小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，关注其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。

小学分数的意义篇6

笔者曾对五、六年级学生作过一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力的情况。为了便于比较，问卷以题组形式呈现。

题组1：

一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？

一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？

题组2：

2升橘汁的售价为8元，每升橘汁的售价是多少？

升橘汁的售价为4元，每升橘汁的售价是多少？

题组3：

某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？

某种农药千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒公顷麦地需要多少千克农药？

应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目也是一些基础题，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握得较好，进入第二学段却暴露出了问题。具体看学生的错误类型，都是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知哪个数是被除数（如题组2第二题，很多学生用4×或÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。

二、分析与诠释

毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现了不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程中的一个环节（如负数、无理数等概念引进后的扩展）。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注的是计算本身，对乘除法运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”走过场，而恰恰忽视了乘除法运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义。以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的是多少”，相应的除法则是“求整体”，如“已知一个数的是4，求这个数”。

显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为这在很大程度上反映了这样的现实：题组1中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；题组2中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；题组3第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。

事实上，尽管通过分析找到了学生思维出错的根源，但也应看到这种错的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数中运用，这当然应当被看成是学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识到学生在乘除法意义学习中的局限性和遇到的困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。

三、小学阶段推广乘除法意义的策略

（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解

对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，教师仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。

在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种。

1.等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”“份数”，因此，也就有了两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”“包含除”。

2.倍数问题。

3.配对问题。

4.长方形的面积。

这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。

如在五年级上册“小数乘法”单元中，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。

经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生了很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数领域中的认识表征。此时，笔者不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3相加（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的推广与延伸。

（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新

建构主义者认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范或反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义引入到已有的知识体系中。

以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中展示这样一组情境：

（1）我的绳子长米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？

（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的，小明的绳子有多长？

引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是×3，表示的意义相同吗？这就引发了学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法中出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。

在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化，并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突―建构―顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。

（三）提取本质，引导学生转换关注视角

前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。

基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过已有知识已经促成了对新知的理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中，脱离了题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，笔者紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算。

（1）把平均分成2份，每份是多少？

（2）里面有几个？

（3）10是的几倍？

（4）一个数的是8，这个数是多少？

小学分数的意义篇7

1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数乘法的相关资料与问题。

2.进一步明确分数乘法教学的内容与要求。

3.通过对不同版本教材分数乘法的对比，提高教材比较的能力。

4.进一步提高分数乘法的教学水平。

二、活动时间

教研组老师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题，时间约3小时；再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时；开一节分数乘法的公开课，时间40分钟。

三、活动前准备

数学组的每一个老师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。指定老师准备开一节分数乘法的公开课。

1.分数乘法可以分成“分数与整数相乘”和“分数与分数相乘”两大块内容。但由于涉及运算意义的说明、计算法则的归纳以及结果的约分或化成带分数等等，内容比较丰富。请你先计算下面各题，并想一想，这些分数乘法的题目，教材应该按照怎样的顺序编排？请按照前后顺序在括号里编号。

（ ）6×，（ ）×，（ ）×，（ ）×，（ ）×3。

2. 学习任何运算常常要先明确这种运算的意义，学习分数乘法运算也不例外。我们先来研究“分数与整数”相乘的意义。

（1）你觉得“分数与整数”相乘的意义是什么？请你以8×为例说明。

（2）如果有人说：“8×有两种意义：①8×表示8个相加的和是多少；②8×表示把8平均分成4份，取这样的3份是多少，也就是表示求8的是多少。”你同意这样的说法吗？在教学中，需要让小学生掌握这两种意义吗？如果需要，那么哪一种意义应该先教学？为什么？

（3）下面是学生对“分数与整数”相乘意义的表达（以8×为例），你觉得哪些表达是对意义正确的理解？在相应的括号内打“√”。

①8×=+++++++（8个相加）； （ ）

②+++++++=8×=×8 ；（ ）

③8×既表示8个相加是多少，也表示个8相加是多少；（ ）

④把8平均分成4份，取这样的3份，算式可以是8×； （ ）

⑤求8的是多少，就是要计算8×或×8是多少； （ ）

⑥8×可以理解为有8个苹果平均分成4份，这样1份就是2个，表示这样的3份，就是6个苹果。也就是8×=8÷4×3。（ ）

（4）如果要出一些题目来评价学生是否掌握了“分数与整数”相乘的意义，那么，你可以出怎样的题目？

3.“分数与整数”相乘的内容从计算的结果上看，可以分成两类，一类是分数与整数相乘计算结果是整数，如8×；另一类是分数与整数相乘计算结果是分数，如3×。查阅现行的几套小学数学教材，只有浙教版教材把分数与整数相乘计算结果是整数的这一块内容放在三年级进行教学。这套教材在学生学习了分数的初步认识、初步的分数大小比较和加减法后教学求一个数的几分之几是多少（结果是整数）的内容。

下面是在三年级教学“求一个数的几分之几是多少”的教学片段，请你先阅读，然后思考并解决问题。

环节一：

出示图，让学生思考并填上合适的分数表示图中阴影部分的大小。说一说为什么填这个分数。

一般的学生都能填上，并能够说明理由：把一个图形等分（或平均分）成了4份，阴影部分有1份，所以，用表示图中阴影部分的大小。

环节二：

教师分步出下面两个图，并结合图形用文字表达。再让学生将文字各齐读一遍。

（1）

文字表达：涂阴影的小正方形是这个大正方形的四分之一。

（2）

文字表达：这个大正方形的四分之一是涂阴影的小正方形。

（3）出示图，并明确问题：大正方形的是一个小正方形，如果一个大正方形表示16，那么，这个小正方形表示多少？也就是16的是多少？你是怎样列式计算出结果的？

16的是多少？

学生列式计算：16÷4=4。也就是一个小正方形表示4，并明确16的是4。

教师进一步提出问题：想一想，“16的是多少”是什么意思？用什么方法计算？

引导学生回答：16的是多少，就是把16平均分成4份，求1份是多少。把16平均分成4份，求1份是多少，用除法计算：16÷4=4。

环节三：

让学生做三个练习题，巩固求一个数的几分之一是多少的意义与方法。

环节四：

与上面的过程类似，教学求一个数的几分之几是多少。

先出示图：。

再出示问题：如果这个大正方形表示16，请每一个学生都独立地解决问题：想一想，“求16的是多少”是什么意思？怎样列式计算？

在学生独立思考解决问题后，进行全班交流。引导学生得出：“求16的是多少”的意思是：把16平均分成4份，表示这样的2份。解决问题的算式与结果是：16÷4×2=8。

环节五：

让学生做三个练习题，巩固求一个数的几分之几是多少的意义与方法。

问题：

（1）你觉得，对于三年级学生来说，要完成上面的教学过程，他们需要具备哪些基础？

（2）笔者曾用上面的教学过程在三年级进行教学实践，发现学生有能力解决求一个数的几分之几是多少（结果为整数）的问题。三年级学生为什么有能力解决这样的问题呢？下面列举了可能的原因，请你根据上面的教学片段，判断哪些说法是正确的，正确的在相应的括号里打“√”，否则打“×”。

从学生已有的基础看：

对分数的意义已经有了初步认识；（ ）

单位“1”的概念已经非常明确；（ ）

已经具备用归一的方法解决整数应用问题；（ ）

分数乘法的意义学生已经掌握；（ ）

已经学习了分数与除法的关系。（ ）

从教学过程与要求看：

提供了直观图形，方便学生理解；（ ）

“先教学求一个数的几分之一是多少，再教学求一个数的几分之几是多少”体现了由易到难的原则，学生学习的难度较小；（ ）

巩固练习的题量大，有利于学生掌握；（ ）

“把求一个数的几分之几是多少的问题转化成归一问题来解决”这种转化的思路学生能够掌握；（ ）

不要求学生列出16×这样的乘法算式，只要求学生把“求16的是多少”的意义（把16平均分成4份，表示这样的2份）和算式（16÷4×2=8）对应起来，这是合理的教学要求。（ ）

4.你觉得，把分数乘法分成“分数乘整数结果是整数（三年级）”和“分数乘整数、分数（五年级或六年级）”这样两段来编写，是否有必要？请你阅读下面甲、乙两人的看法，你比较赞同哪一个人的观点？为什么？

甲：把分数乘法分成两段来教学，它的价值比较大。对我这样的老师来说，在数学教学观念上有一定的“冲击”。原来我一直认为，分数乘法只有到五、六年级学生才可能学习，把分数乘整数结果是整数这样的内容放到三年级学习，说明了作为教育任务的数学有着自己的体系，小学生学习数学的系列可以不断地实践与探索。对于学生来说，①由于用归一的思路解决求一个数的几分之几是多少的问题，所以有利于学生更好地理解分数乘整数的意义；②用归一的思路解决问题时，要把分数的单位“1”具体化，如单位“1”代表16，这样有利于学生进一步理解分数意义中的“单位1”；③有利于学生进一步感受分数与“等分，平均分”有关系，除法也与“等分，平均分”有关系，这样分数与除法之间也就有了关系，而不是分数就是分数、除法就是除法，两者没有丝毫的联系； ④为五年级或六年级学生进一步学习分数乘法奠定了基础。

乙：把分数乘法分成两段来教学，它的价值不大。主要有以下两个理由：①在分数乘除法教学研究校本教研活动方案（一）中（详见本刊2013年第7～8期合刊）我们已经知道，在算术理论中，分数与整数相乘没有自己单独的意义与运算法则，而只是建立了分数与分数相乘的意义与法则。对于分数与整数相乘可以看成是分数与分数相乘的特别情况（即把整数看成分母是1的特殊分数），可见，把分数乘法分成两段来教学，不是突出了数学内容的整体性，让学生感受到法则的统一性，而是肢解了数学的内容，不利于学生整体把握分数乘法的知识结构；②无论是分数乘整数，还是分数乘分数，对于小学生来说，学习的难度不大，没有必要把这一内容分成两段编排，采用螺旋上升的原则。分两段编排后，势必增加教学的时间，学生学习的效率相对低下。

5.在教学“分数乘整数”的第一个例题时，如果想创设一个生活情境引入算式，那么你会创设一个怎么样的情境？

现行的人教版与苏教版教材都把分数乘法内容编排在六年级上册，下面分别是这两套教材关于“分数与整数”相乘的第一个例题，请你先阅读教材内容，然后回答问题。

问题：

（1）哪一个情境更贴近小学生的生活实际？为什么？

（2）哪一个情境更容易让小学生理解题意、弄清条件与问题？为什么？

（3）哪一个问题的解决更容易让小学生理解“分数乘整数”的意义？

6.我们知道，教学分数与整数相乘时，主要教学分数与整数相乘的意义与计算法则。人教版与苏教版教材在出现了上题（第5题）中的两个情境后，接着教材又呈现了意义与算法的内容，请你先阅读两种教材的内容再回答问题。

人教版教材 苏教版教材

问题：

（1）两种教材分别在哪些内容上呈现了分数乘整数的意义？哪些地方呈现了算法？

（2）哪一种教材在意义与算法的呈现方式上更为清晰？

（3）哪一种教材更强调学生的动手操作？更重视利用学生已有的知识与技能？

（4）你比较喜欢哪一种教材的编写过程？为什么？

7.苏教版教材除了像上题（第6题）这样呈现“分数与整数相乘的意义可以是求几个相同加数和的简便计算”外，还专门用了一个例题阐述分数与整数相乘的另一种意义，请你先阅读教材，再回答问题。

苏教版教材

问题：

（1）例2中为什么要有两个小问题？

（2）在例2中分数与整数相乘的意义是什么？请以10×为例说明。

（3）你觉得例2的教学有什么价值？

8.笔者查阅了现行的人教版教材，发现没有编排像苏教版例2这样分数与整数相乘的内容。这样的内容是否还需要教学，有了不同意见。

有人认为，现在我们已经不再区分被乘数与乘数，而且在学生一开始学习乘法时，就规定了两个因数交换位置后的大小相等、意义相同。如2×3=3×2，所以在这里学生也会明白10×=×10，前面已经教学了10×或×10都可以理解为“求10个相加的和”，因此，没有必要再教学10×可以理解为是“把10平均分成5份，表示这样的2份”这种意义了。

也有人认为，虽然学生明白了10×=×10，但并不意味着学生对于算式的意义就理解了。对于10×或×10这样的算式来说，学生不仅要知道它们是相等的，而且还要明白每一个算式都有两种不同的含义，从这个意义上说，在不再区分被乘数与乘数的背景下，对每一个算式都应该让学生明白两种意义，教学的任务更重了，所以，教材应该出现像苏教版例2这样的内容。

你觉得上面的哪一种观点更有道理？为什么？

9.在分数乘分数的教学中，要教学分数乘分数的意义与方法。下面的三句话都是以×为例，试图表达出分数乘分数的意义，你觉得这些表达都是正确的吗？ 为什么？

（1）×的意义是求个相加的和是多少。

（2）×的意义是求的是多少。

（3）×的意义是把平均分成4份，表示这样的3份是多少。

10.想一想，在分数与整数相乘的两种意义中，哪一种意义和分数与分数相乘的意义是相同的？以2×和×为例说明。

11.你觉得，学生是分数乘分数的算法（用分子相乘的积作分子、用分母相乘的积作分母）掌握得比较困难，还是理解算理（即为什么可以这样计算的道理）掌握得比较困难？

下面是人教版教材分数与分数相乘的例题，请你先阅读，并思考学生理解算理较困难的主要原因是什么。

接着教材上要求学生想一想，分数乘分数怎样计算？

下面是对形成难点的原因分析，你觉得这样的分析是否有道理？

主要原因：一是单位“1”的不断变化。从例题所创设的情境看，题目中对应着的单位“1”是一面墙，对应的单位“1”是一面墙的。而×所对应的单位“1”也是这一面墙。可见在分数与分数相乘的过程中，出现了几个单位“1”，这几个单位“1”要根据条件与问题来确定，这是造成学生理解困难的一个原因。二是算式的意义常常由规定而得，而并不是根据数量关系得到。大家知道，分数与分数相乘的意义就是“几分之几的几分之几”，这是规定。如上面例题中由“的”这样表述的句子，就得到× ，这种“硬性”的规定不利于理解。而如果从工作效率、工作时间与工作总量相互关系中得到× ，学生的理解就可能会容易一些。

12.请你先阅读下面的题目，然后回答问题。

你觉得，在教学分数乘分数时，如果采用上面的题目作为例题，那么，能够得到分数乘分数的算式吗？能够说明算理吗？如果用三四个这样类似的题目可以归纳出计算方法吗？与上面人教版教材中“粉刷墙”的这个例题比较，各有什么优点与不足？

（1）要求出阴影部分这个长方形的面积，应该怎么列式？

（2）这个大正方形的面积是多少？阴影部分的长方形面积是这个正方形面积的几分之几？

（3）阴影部分长方形的面积是多少？

小学分数的意义篇8

屏幕上显示：X S D Y Y （人教版四年级下册）。

师：这是五个汉语拼音的字头，猜猜看，什么内容？

师：你们这样会猜，真猜对了，真的是“小数的意义”。（课题由XSDYY变为：小数的意义）

师：如果老师没记错的话，我们三年级的时候，学过一些关于小数的知识，对吗？来看看（课件出示三年级教材：小数的初步认识），这就是我们三年级那篇课文的第一页，第七单元“小数的初步认识”，有印象吗？

师：今天我们就要在小数的初步认识的基础上，更进一步、更深入或者说更系统地学习小数的知识，那么这节课的课题，就叫做“小数的意义”。（板书课题）

【赏析】刘老师巧妙地用课题中每个文字的拼音第一个大写字母”XSDYY”来呈现数学课题，让学生猜要学的内容，引起悬念，激起学生极大的学习热情。课的最后又呼应前面，出现了“XSDYY（小数的意义）、XSDXZ（小数的性质）、XSDJJ（小数的加减）、XSDCC（小数的乘除）、XSDYY（小数的应用）”将小数所涉知识点的内在联系稍作介绍，体现一种大数学观思想。刘老师新课导入部分用的情境是学生三年级学的“小数的初步认识”主题图，再现学生学过的小数的知识，效果远好于让学生回忆。细微处，折射出刘老师以生为本的理念。

【教学片段2】

师：同学们，我们学小数，干嘛还要带上“意义”这两字呢？“意义”是什么意思呢？其实，我原来也不太清楚，特意为这节课查了查词典，就是这本现代汉语词典。

师：我们老师、大人常常用到《现代汉语词典》，它很厚，我在这本词典的第1618页找到了“意义”这个词条。大家看，“意义”有两个意思，一个是什么？（表示什么）还有一个呢？（价值）

师：表示什么，什么意思？就是小数究竟是什么意思，这个小数它代表的是什么呀，就这意思，明白吗？我写写。（板书：表示什么）

师：还有一个意思，叫“价值”，“价值”是什么意思？是说这个小数多少钱一斤呀？

师：很显然不是，那太荒唐了，如果是多少钱一斤的话，那就不是“小数”，而是“小米”或“小白菜”之类了。

师：那么小数的意义，这个“价值”是什么意思？有人知道吗？

师：有点意思，在生活中的价值就是说，我们为什么要学小数，学小数对工作学习有什么用处，有什么帮助，这就是小数的价值，也就是小数的意义。（板书：为什么）

师：所以小数的意义有两层意思――一为表示什么，二为为什么学习小数。

【赏析】当学生说不出“意义”的意思时，刘老师不是直接告诉学生，而是用课件呈现《现代汉语词典》，引导学生“用”词典，让学生知道它也是人们学习数学的工具。当学生知道“意义”的含义是表示“价值”时，刘老师又用通俗、幽默的语言进一步阐述，让学生明白什么是小数的“价值”。

【教学片段3】

课件出示一张正方体图，图下方标有：整数1。

师：这里有一个正方体，把它看做“整数1”。

课件出示：把正方体平均分成10份。

师：数一数，是不是平均分成10份。

师：这一份一份，都像什么呀！（面包片）

师：好，我们看其中的一片，能说出什么数？（ ）

师：真好！他说出了这节课的第一个小数。 用分数表示怎么表示？（十分之一）

师：真好！ 表示 。大家说一遍。（板书： 表示 ）

师：这 其实就是 的意义，很好，再看，（出示两份涂颜色）是什么数？

师：他很会学习，嘴里说“0？郾2表示 ”，眼睛却看着黑板，模仿“ 表示 ”来说，这就很好嘛。（师板书：0？郾2表示 ）不错，再接着看。（出示3份涂颜色的）

教师板书：0？郾3表示 。

师：同学们，是不是还可以写出一些呀！（在板书中添上省略号）还可以写出什么？（0？郾4表示 ，0？郾5表示 ）

师：对了，至少我们还可以说出九句这样的话。不说了，谁能用一句话说出这些小数表示什么？你看， 表示 ，0？郾2表示 ……用一句话来说，谁会说？（零点几表示十分之几）

师：多好啊，谁能再说一遍。

师：对极了，谢谢！请坐。这句话由于特别重要，所以我已经写好了（贴出）。全班同学读一遍。

师：真好！这是关于小数的意义中，一个很重要的基础知识――零点几就表示十分之几。很多同学在数学课上，特别关注自己学到哪些数学知识，这没问题，应该的。其实，我们好像更应该关注的是用什么方法或通过什么途径学到的这个知识，这个很重要，甚至说更重要。什么意思呢？刚才我们认识小数的意义，一句一句非常具体，你看， 表示什么，0？郾2表示什么……特别具体，后来我们用一句话概括出来，零点几表示十分之几，这个过程，人们把它叫做什么？我写写，“抽”什么，知道吗？（抽象）

师：哇，真了不起，果然是抽象呢！抽象是什么意思呢？就由几个具体的知识，然后通过抽象，得到一个概括性的认识。这个过程，就叫抽象。大家比较生疏，好像第一次遇到这个词，其实，我们从一年级到现在，从来没离开过抽象。比如，一年级学习1、2、3、4、5……看大屏幕，这张是一年级学习“10的认识”数学书上的一幅画，10个人，10只和平鸽，10个苹果……都可以用10表示，这个过程就是“抽象”。怎么样？抽象有用吗？难吗？

师：那好极了，那我们再抽一次。再抽的话，这个正方体就不能仅仅停留在平均分成10份的程度了，猜多少份？（100份）

师：四（7）班的同学真会猜！会这样有根据地猜，就是会学习。我写写――平均分成100份。正方体平均分成100份，看什么样子了，这一份一份的可不像面包片了，像什么？

师：像薯条吧，谁会说点什么？（0？郾01表示百分之一）

师：好了，不往下说了，也不往下写了，下面该干什么了？

师：真有抽象意识，谁会抽象出点什么呀？

生：零点零几就表示百分之几。

生：零点几几就表示百分之几。（师贴出）

师：好了，这个知识也是我们通过抽象得到的。怎么样，抽象有用吗？好玩吗？那再抽一回？

师：不抽了，老抽就平了。其实数学思想、数学方法很多，不仅仅有抽象，还有一个也很重要，我写写――推什么？（推理）

师：对了，推理，真棒！推理怎么回事呢？怎么用啊，是这样，你看，刚才我们得到两个重要的知识――零点几表示十分之几，零点几几表示百分之几，根据这两条，你能不能推导出、推测出一个新的结论？那下句话该怎么说，就那么的有道理？（零点几几几就表示千分之几）

师：对不对呀？鼓掌！真的应该鼓掌！读一遍。

师：真好！这个重要的结论是通过抽象得到的吗？（推理得出的）

小学分数的意义篇9

布鲁纳曾说：“知识的获得是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是获取过程的主动参与者。”老师在课堂上相对于学生来说应该是很有权威的，而本节课的许多知识点、知识链也都可以利用老师的权威直接告诉学生，事实上苏教版教材中也是直接告诉的。如例1：1元=100分，1分是1元的，还可以写成0.01元，是整数分数小数。在新课改如火如荼的今天，老师让学生成为知识获得的探究者，巧妙地化告知为探得，利用学生的生活经验和直觉，改成由小数整数分数，使得由书本和老师的权威告知转化为学生个性化的探究发现。引导提问：0.01元是多少钱？（学生的生活经验会说1分），那1分是1元的几分之几？（）即1分是元，由此看出元和0.01元都表示1分，它们是相等的。这就是说，写成小数是0.01，反过来说，0.01就表示。

通过对教材的深度思考，顺应了学生的认知和思维发展轨道，把学生引领到主动参与的过程中，在有效“探得”小数的意义中，进一步体现和凸显了小数和分数之间的密切联系。

二、化具体为抽象

克鲁捷茨经过大量的实验研究后发现，在数学学习的过程中，学习者都具有一种用数学语言来解释问题的能力倾向。这给我们以启示，小学生在一定程度上依靠视觉意象，把数学内涵视觉化，对比较抽象的数学意义、概念、法则等借助形象化的思维高度概括出其深刻的内涵。

如例1引导学生依据元、角、分之间的关系，初步理解两位小数表示的是百分之几；通过例2结合米和厘米之间的关系，出示一把米尺，把1米平均分成100份，每份长1厘米。这是1厘米，写成用米做单位的分数、小数是多少呢？根据1米=100厘米，可以得出1厘米等于米，还可以写成0.01米，学生进一步体会到百分之几可以用两位小数来表示；接着还以米尺为例，介绍1毫米是米，还可以写成0.001米，且让学生用分数和小数表示出7毫米、15毫米、238毫米各是多少米，推广到千分之几可以用三位小数表示；最后引导学生拓展思维，除了长度单位中有这样的关系，在其他单位中我们也能有所发现吗？

在如此丰富的素材的基础上及时对有关小数意义的感性认识进行抽象和概括，强化对小数的认识。接着引导，刚才我们通过货币、长度、质量等单位研究了分数与小数之间的关系，如果不给你具体的量，只给你一个图形，把它看成整数“1”，你能用分数和小数把涂色部分表示出来吗？1元、1米甚至一个图形都可以看成整数“1”，那0.8这个小数是把整数“1”平均分成10份，表示其中的多少份呢？（8份）揭示小数和“1”的关系。在比较抽象的高度上强化小数的意义，既结合了一些具体数量之间的关系让学生去感悟，又进行了抽象的数学思考。在整个教学活动中，老师由扶到放，扶中有放，放中有扶，由浅入深地引领孩子深入思考，使得孩子的学习不仅是有意义的接受式学习，而且在不知不觉中进行自主探究学习。在此过程中由易到难、化具体为抽象，层层推进，让学生逐步积累、丰富、完善对小数的意义的认识。

三、有形中润无形

本课小数意义的教学，老师可以在前面进行小数的分类和读写的教学后，一心一意地朝着意义的建构去着墨。分类后，引导孩子观察这类小数有什么共同的地方，说出一位小数、两位小数后，追问学生有三位小数吗？谁来说一个三位小数；再说出小数23.1234，这是几位小数？当然还有更多位的小数……通过有形的部分小数的分类过程引领学生自己迁移感知发现小数有无数位，也为后面抽象概括小数意义时理解由有限位推广到无限位埋下无形的伏笔。

当然，一些规则意义的形成往往离不开从个案到结论再到个例的过程，也就是先归纳再演绎，从而比较每个个案中个性的共性，在特殊中见一般。本课教学的起点是三年级初步认识的=0.1，十分之几也就是零点几，是一位小数的个性形式，落脚点是小数意义的建构。通过有层次性的例题教学，如分完1元分1米，分完1米咱们就来分1个图形，涂色部分是21份，空白部分是多少份？可以用怎样的分数表示？（小数、分数都可以）接下来把1元、1米、1个图形等看成整数“1”平均分成100份，其中的30份，可以用怎样的分数、小数表示呢？在教学中适时点拨、层层推进，由具体到图形再到抽象，逐步化有形为无形，使学生的学习力不断得到提升。从这些翔实的素材中体现出从一般到特殊，在个性中适当提取激活有关共性的内容，使得有形的世界背后，凸显出丰富的无形世界，即渗透了数学思想，培养了学生推理、迁移等能力，真是有形中润无形，无形胜有形。

四、有限中润无限

小学分数的意义篇10

1、理解小数的意义，借助熟悉的十进制关系现实原型，多角度理解小数和分数的联系，知道每相邻两个计数单位之间的进率是10。

2、通过小数和分数的联系，培养学生系统归纳知识的能力。

3、通过对测量、观察、思考、操作等活动，以及学生对日常生活中的小数的广泛应用，使学生积累了丰富的感性认识，渗透迁移、类推思想。

4、通过自学、交流等活动，积累思考的经验和探究的经验。

5、在用小数进行表达的过程中，感受小数与生活的联系，进一步培养数感和观察、比较、抽象的能力，增强学习数学的兴趣和信心。

6、引导学生在测量、操作过程中经历“不够1米怎么表示”，感受小数产生的必要性，并尝试着解决生活中的实际问题。通过分层练习，让学生牢固掌握并重点练习小数和分数的联系，注重培养学生系统归纳知识的能力,也让学生在练习中进一步理解小数的意义，培养迁移和类推的能力。

教学重点：

1、理解小数的意义

2、知道每相邻的两个计数单位之间的进率是10。

教学难点：

小数每相邻两个计数单位间的进率是10。

教学过程：

一、情境引入，揭示课题

同学们，上学期我们初步认识了小数，了解到小数在生活中具有十分广泛的应用，生活中处处有小数，小数也经常出现在日常生活的测量和计算中。你会用米尺测量吗？请两位同学合作到前面测量黑板的长度。引出在测量过程中，往往不能正好得到整数结果，不够1m怎么办？

今天我们一起来探究小数的意义（板书：小数的意义）

二、新授

（一）1、理解一位小数的意义

请看大屏幕（出示课件米尺图）

师：把1米平均分成10份，其中的一份是几分米？用米作单位，用分数表示是几分之几米？用小数表示是多少米？

师：谁来说一说？3分米呢？7分米呢？

通过探究，发现：分母是10的分数可以用一位小数表示。

师：0.3m里面有几个0.1m?

0.7m里面有几个0.1m?1m呢？

小结：分母是10的分数，它的分子是几，里面就有几个0.1。

2、巩固练习（出示课件）

师：请你再思考一下：1里面有几个0.1？为什么？

（二）1、理解两位小数的意义

请看大屏幕（出示课件米尺图）

把1米平均分成100份，其中的一份是几厘米？用米作单位，用分数表示是几分之几米？用小数表示是多少米？谁来说一说？4厘米呢？8厘米呢？

通过探究，发现：分母是100的分数可以用两位小数表示。

0.04m里面有几个0.01m?

0.08m里面有几个0.01m?1m呢？

小结：分母是100的分数，它的分子是几，里面就有几个0.01。

2、巩固练习（出示课件）

（三）1、理解三位小数的意义

请看大屏幕（出示课件米尺图）

把1米平均分成1000份，其中的一份是几毫米？用米作单位，用分数表示是几分之几米？用小数表示是多少米？

谁来说一说？6毫米呢？13毫米呢？你能独立探究吗？

学生看课本33页，独立探究。（课件出示问题引导）

通过探究，发现：分母是1000的分数可以用三位小数表示。

0.006m里面有几个0.001m?

0.013m里面有几个0.001m?1m呢？

小结：分母是1000的分数，它的分子是几，里面就有几个0.001。

（四）迁移推理

同学们看课本33页，在米尺图的下面，小精灵说了一句话，咱们齐读一下。引导学生理解其中省略号的含义。

巩固练习：1、教材36页1、2两题

2、课件出示巩固练习

（五）认识小数的计数单位和进率

回忆整数的计数单位，引出小数的计数单位，理解每相邻两个计数单位之间的进率是10。

三、课堂总结：

小学分数的意义篇11

1.小学数学分数教学中存在的问题

在小学阶段的数学中，分数部分对以后学习数学非常重要，起到一个基石的作用。小学数学分数教学中主要存在以下几个问题：

（1）小学分数的知识点非常复杂，有许多的知识点组成，涉及的面很广。对于小学生来讲，由于分数涉及到许多的概念和思想，所以小学生对分数知识不能够很好的把握。小学生现在不能很好的把握好分数的知识点，则在数学以后的学习过程中会有许多相关的概念不能很好的把握。分数和整数之间存在许多不同之处，进而导致小学生学习分数困难。

（2）在我们生活中，相比于整数，我们用到分数的机会是很少，小学生比较容易接受整数，对于接受分道此稻筒荒敲慈菀琢恕S行┙淌Χ苑质的整体把握还不是很好，也就不能很好的教给学生分数的概念，进而导致学生只是会记课本上的公式，不能够真正的理解分数精华所在。根据上述原因可知，小学生学习数学分数困难的原因不仅有分数本身不好理解，还和数学教师对分数的把握程度及其教学方法有很大的关系。当然，这与小学生本身对数学分数的学习认真程度也有很大的关系。

2.对小学数学分数教学的一些建议

2.1 加强两种意义的教学。“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。因此，要让学生切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题教学的关键所在。

（1）强化分数意义。所谓“分数”就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。这个概念中有三个知识点：①单位“1”，把要平均分的任何事物看做一个整体，用单位“1”表示，又称整体“1”。②平均分，分数是建立在平均分的基础上的。③表示平均分的一份或几份的数才叫分数。因此，要强化分数意义的教学。重点训练学生说清分数意义这个概念中的三个重点。 例：说出下面每句话中分数表示的意义（1）五（1）班男生人数占全班人数的3/5。（3/5表示把全班人数看做整体，平均分成5份，其中的3 份是男生。）（2）实际比计划超产1/ 4。（1/4表示把计划产量看做一个整体平均分成4份，超产的是这样的1份。）

（2）强化一个数乘分数的意义：（能充分利用好数量关系）学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。（就是求100的1/2 是多少？ 应注意当倍数不满1时，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示这样的1 份。） 一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。（（（就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示这样的3 份。）

这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的，使学生感到新知不新，增强了学习的信心，也完成了整数乘法的意义向分数乘法意义的过渡。

小学分数的意义篇12

小学数学教学是给学生打下数学基础的时候，是数学概念和意义教学的基础，因此，意义理解教学法能够帮助学生很好掌握数学知识点。概念是从实践中来，学习概念是为了综合应用，数学概念是小学数学基础知识的一项重要内容，概念不清，就会导致思维混乱。

一、小学数学意义理解教学的重要性

小学数学概念和意义对于学生打下数学基础和培养数学思维是非常重要的，数学概念和意义是对数学模型理解的基础，从概念到数字化模型的表达到相应数学模型的表达，培养学生的数形结合，形成数形结合的数学思维。正确的掌握和理解数学概念和意义能够帮助学生建立起完善的数学学习体系，由概念到数学模型以及数形结合等思想都得到很大的提高，能够帮助学生从根本上理解数学模型的构建，强化学生对数学的掌握和兴趣的培养。如对厘米和米的理解，只有正确地掌握了厘米的概念，才能掌握米和千米等概念，找到他们之间的关系和区别，才能够帮助学生更好地掌握计量单位。再如对时、分、秒的概念，只有理解和掌握好他们的概念，才能更好地进行时间的换算，才能更好地应用。可见小学数学意义理解教学能够帮助学生更好地打好数学基础。小学数学概念和意义内容丰富多彩，包罗万象，范围也较大，因此老师要帮助学生打好基础，才能加强学生对数学的理解和分析，老师要根据教学目的的不同和教材内容不同及学生的差异因材施教，合理有效地安排意义理解教学，帮助学生更好地掌握数学概念。

二、数学概念和意义的引入

数学概念和意义对于学生来说理解起来是有困难的，因此合理地引入能够让学生更容易接受和理解的数学概念。

1.从已有的数学知识出发 有的数学概念和意义是从之前的“旧知识”拓展延伸出来，因此老师就可以从这些已有的知识出发，引入新的知识。这样学生更好理解，也复习了之前的数学概念和意义。同时，这种举一反三、拓展延伸的方法也能帮助学生在脑中建立起数学模型，帮助学生将知识连接起来，找到知识之间的关系，这样学生就能够建立起自己的数学体系。如在讲“分米和毫米”的概念时，就可以通过“厘米和米”的概念引入，学生能够将这些计量单位连接起来，找准它们之间的关系，建立起它们的换算关系，这样学生对于这些计量单位能够更好地掌握，也复习了之前的旧知识，是个很好的教学方法。

2.理解数学概念和意义的本质区别 将数学概念进行对比，可以找出它们的相同点和不同点，这也是一种很好的理解教学方法，同时学生通过这种对比能够加强对知识点的理解和记忆，在日后的做题中也不容易出现问题。如在讲《运算律》一课时，介绍加减法结合律这一个概念时，就可以让学生分析24+1+2和24+（1+2）的区别和联系，进行类比和分析，找到它们之间的关系，这时老师再将加减法结合律的概念引入，学生就能很好地理解和掌握，在以后的运算中也能很好地灵活运用。

3.从生活中学习数学概念和意义 数学很多概念和意义都是从生活中提炼出来的，因此让学生重新回到生活中寻找数学概念并学习就能很好地加强学生对数学概念和意义的理解，同时加强了数学的实用性，学生也会加强对数学的积极性和学习的热情。如在学习《轴对称图形》一课时，老师可以让学生在生活中找轴对称图形，如麦当劳的图标等，这样学生在生活中发现了轴对称图形，就能先产生一个对轴对称图形概念的意义，然后老师再适时地引入轴对称图形的概念，学生就能更好地理解和掌握，同时在生活中发现了数学，也增加了数学的趣味性，学生也会对数学产生更浓厚的兴趣。

三、数学意义理解教学的普遍问题

数学意义理解教学中，老师非常容易出现偏离主旨的问题。如老师让学生刻意地去背诵记忆概念，这样既起不到意义理解的教学初衷，又让学生丧失了对数学学习的热爱和积极性。就算学生将数学概念应试地记忆下来，也不会真正的理解和掌握，在做题时依然会出现问题。再如概念的归纳过于仓促也会使意义理解教学本末倒置。不断建构和解构的反复过程是形成数学概念的必要过程，但教师为了效率或者为了赶进度在形成概念这一部分有时候过于仓促，在学生还处在初步建立或者对概念初步理解时已经开始进行归纳总结的步骤了。这样学生就会对数学理解出现困惑，也没有办法真正地掌握数学概念和意义，在接下来的学习和做题中就非常容易出现问题。因此老师要尽力照顾到学生的对数学的理解程度，尽力让班级整体水平都有所提高。

小学分数的意义篇13

第一章第一阶段复习（1.1－1.2.1）一、双基回顾1、正数、负数及0的意义由于生产和生活的需要产生了数——正数、负数和0.（1）大于 的数叫做正数，正数前面的“＋”号通常省略不写.（2）在正数前面加上 的数叫做负数.（3）0既不是 ，也不是 ；0除表示“没有”外，还可表示 ，如海平面的海拔高度为0.注意：正数和负数都是由符号和绝对值组成的.〔1〕已知数－7，2.1，0，－1/3，13中，正数有　；负数有　；不是负数的数是 　；不是正数的数是 .注意：不是负数的数叫非负数；不是正数的数叫非正数.2、用正负数表示具有相反意义的量正负数用来表示具有相反意义的量，如＋2元表示股票上升2元，－3元表示 .在一个数的前面加上“－”号，所得的数表示的意义与原数表示的意义 .〔2〕下列说法中错误的是　 　.①零上6℃的相反意义只有零下6℃；②收入和支出是一对相反意义的量；③运出5吨与收入5元是一对具有相反意义的量.相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义 ，二是它们都具有 ，而且必须是 .〔3〕如果零上5℃记作＋5℃，那么零下5℃记作（ ）A、－5　B、－10　C、－10℃　 　D、－5℃3、有理数及其相关概念（1） 统称为整数；（2） 统称为分数；（3） 统称为有理数.注意：有限小数和无限循环小数都可以化为分数.4、有理数的分类（1）按定义分： （2）按性质分： 注意：分类要按同一个标准，做到不重复不遗漏.二、例题导引例1　下列语句：①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③小学学过的数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中除了负数就是正数.其中正确的语句的个数是（ ）A、0个　B、1个C、3个　D、4个例2 把下列各数填入相应的大括号中：7，－9.25，-9/10，-301，4/27,-3.5,0,2,11/2,-7,1.25,-7/3,-3,-3/4.正数｛　 …｝　负数｛　 　…｝负整数｛ …｝正分数｛…｝非负整数｛ …｝　非正分数｛ 　…｝例3　某校对七年级男生进行俯卧撑测试，有8名男生的成绩如下表所示：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8成绩（个） 7 8 5 2 3 7 4 6

请规定一个有意义的量为正，并用正、负数重新列表表示这8名同学的成绩. 三、练习提高夯实基础1、若存款为正，某储蓄所在1小时内接待了4笔业务：存款2000元，取款1200元，存款400元，取款800元，用正数、负数分别表示为.2、下列说法：①零的意义仅仅是表示没有；②0是最小的正整数；③0既不是正数，也不是负数；④0是偶数，也是自然数.其中正确的是（ ）A、①③④B、①②③④　C、③④D、②④3、下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）A、起重机上升5米与右移3米 B、向前走与向后走　C、收入玉米40公斤与借走玉米40公斤　 D、存入3万元与取出2万元4、如果节约16度电记作＋16，那么浪费6度电记作度.5、钟表上的指针顺时针旋转30度记作+30度,则-20度表示的意义是 .6、如果水位下降3米记作－3米，那么水位上升4米记作（ ）A、1米　B、7米　C、＋4米D、－7米7、如果－4米表示物体向西运行4米，那么＋2米表示 　，物体原地不动记为.8、既是负数,又是整数的数是( )A、0分 B、1分 C、-2分 D、3.5分9、下列说法中错误的是（ ）A、正整数一定是自然数　 B、自然数一定是正整数C、0既是整数，也是有理数　 D、有限小数也是分数10、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 　克至 　克.11、向西走-100米,可以说成( )A、向西走100米 B、向东走100米 C、向西走200米 D、向东走200米12、－7所在的数集有　 　（写出三个数集的名称）.13、按某种规律在横线上填上适当的数：－23，－18，－13，　 　.14、把下列各数填到相应的大括号内： -4，5， ，- ,0,-21 , ,-0.03003.负整数｛ …｝　分 数｛…｝非负数｛ …｝　非正分数｛ …｝15、学校对初一男生进行立定跳远测试，以能跳1.7m及以上为达标，超过1.7m的厘米数用正数表示，不足l.7m的厘米数用负数表示． 第一组10名男生成绩如下(单位cm)：+2 -4 0 +5 +8 -7 0 +2 +10 -3 （1）跳得最远的距离和最近的距离分别是多少？（2）第一组有几名学生达标？达标率是多少?能力提高16、一潜水艇所在高度是－80米，它下潜10米的高度记为 　.17、小明比小刚的身高高-5㎝的意义是 　.18、下列说法中正确的是（ ）A、有最小的自然数，也有最小的整数　B、没有最小的正数，但有最小的正整数C、没有最小的负数，但有的负数D、0是有理数中最小的数.19、有公共部分的两个数集是（ ）A、正整数集合与负整数集合　 B、整数集合与分数集合　 C、负数集合与整数集合D、负分数集合与正分数集合20、某班数学平均分为80分,80分以上如85分记作+5分,某同学的数学成绩为78分,应记作( )A、+2分 B、-7分 C、-2分 D、+7分21、巴黎与北京的时差为-7时（正数表示同一时刻比北京时间早的小时数）如果北京时间是7月2日14：00，那么巴黎的时间是（ ） A、7月2日21时 B、7月2日17时 C、7月2日5时 D、7月2日7时22、按某种规律在横线上填上适当的数：1，－4，9，－16，25，　 　，　 　.23、将下列有理数填在对应的圈中：　－0.3，0，－100，3.7，99.9，－15/2，10， ，2/3. 24、如果课桌的高度比标准高度高2㎜记作＋2㎜，那么比标准高度低3㎜记作什么？现有5张课桌，量得它们的尺寸与标准高度比较分别是＋1㎜，－1㎝，0㎜，＋3㎜和－1.5㎜，若规定课桌的高度比标准的高度不能超过2㎜，最低不能低于2㎜才算合格，那么上述5张课桌有几张合格？探索创新25、某种商品的标准价格是400元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±5％.（1）±5％的含义分别是什么？（2）请你算出商品的价和；（3）某商家将该商品的零售价格定在450元，受到物价部门的处罚，请分析处罚原因.